Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

|MN|

|AB|

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．

解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
∴

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，
即

|MN|

|AB|

的最大值为

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求

|MN|

|AB|

的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．