Question

已知函数f（x）=x²-ax+xlnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥-6恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的定义域内任取三个实数x₁，x₂，x₃，设x₁＜x₂＜x₃，证明：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

f(x3)-f(x2)

x3-x2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²-3x+xlnx，通过求导得出函数的单调区间； 
（Ⅱ）由题意得，a≤x+

6

x

+lnx=g（x）恒成立，通过求导得出g（x）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，从而得出a≤g（x）_min=g（2），问题解决；
（Ⅲ）记M=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，N=

f(x3)-f(x2)

x3-x2

，F=f′（x₂），得出F-M，N-F，考察函数h（t）=t-1-lnt，h′（t）=

t-1

t

，从而F-M＞0且N-F＞0，求出M＜F＜N从而M＜N即

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

f(x3)-f(x2)

x3-x2

得证．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=x²-3x+xlnx，
∴f′（x）=2x-2+lnx，注意到f′（x）在定义域（0，+∞）单增且f′（1）=0，
∴当x∈（0，1），f′（x）＜0；x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．   
（Ⅱ）由题，对任意x∈（0，+∞），
f（x）=x²-ax+xlnx≥-6，
即：a≤x+

6

x

+lnx=g（x）恒成立，
由g′（x）=

(x+3)(x-2)

x2

知，g（x）在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，
∴a≤g（x）_min=g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围为（-∞，5+ln2]．                      
（Ⅲ）记M=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=x₁+x₂-a+

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

，
N=

f(x3)-f(x2)

x3-x2

=x₃+x₂-a+

x3lnx3-x2lnx2

x3-x2

，
F=f′（x₂）=2x₂-a+lnx₂+1，
∴F-M=（x₂-x₁）+

x1

x2-x1

(

x2

x1

-1-ln

x2

x1

)
N-F=（x₃-x₂）+

x3

x3-x2

(

x2

x3

-1-ln

x2

x3

)，
考察函数h（t）=t-1-lnt，h′（t）=

t-1

t

，
∴h（t）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增．
∵0＜x₁＜x₂＜x₃，∴

x2

x1

＞1

x2

x3

＜1，
∴

x2

x1

-1-ln

x2

x1

=h(

x2

x1

)＞h（1）=0，

x2

x3

-1-ln

x2

x3

=h(

x2

x3

)＞h（1）=0，
又x₂-x₁＞0，x₃-x₂＞0，
∴F-M＞0且N-F＞0，
∴M＜F＜N从而M＜N即

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

f(x3)-f(x2)

x3-x2

得证．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，不等式的证明，是一道综合题．