Question

（1）求点P（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点Q的坐标；
（2）求直线x+3y-1=0关于x-y+1=0的对称直线的方程．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：（1）设点P（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点Q的坐标为（x₀，y₀），PQ的中点M（

1+x0

2

，

2+y0

2

）在直线x-y-1=0上，设直线PQ的斜率为k，列方程组即可解得点Q的坐标；
（2）依题意，可求得直线x+3y-1=0与直线x-y+1=0的交点P的坐标，在直线直线x+3y-1=0上取一点A（1，0），则同理可求点A（1，0）关于直线x-y+1=0的对称点B的坐标，利用点斜式即可求得答案．

解答： 解：（1）设点P（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点Q的坐标为（x₀，y₀），
则PQ的中点M（

1+x0

2

，

2+y0

2

）在直线x-y-1=0上，设直线PQ的斜率为k，
∵直线x-y-1=0的斜率为1，该直线与直线PQ垂直，
∴k=-1，
∴

1+x0 2 - 2+y0 2 -1=0 2+y0 2 -2 1+x0 2 -1 =-1

，解得

x0=3 y0=0

，
∴点P（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点Q的坐标为（3，0）．
（2）由

x+3y-1=0 x-y+1=0

得

x=- 1 2 y= 1 2

，即直线x+3y-1=0与直线x-y+1=0的交点P的坐标为P（-

1

2

，

1

2

），
设直线x+3y-1=0关于x-y+1=0的对称直线为l，则l必过P（-

1

2

，

1

2

）；
在直线直线x+3y-1=0上取一点A（1，0），则同理可求点A（1，0）关于直线x-y+1=0的对称点B的坐标为B（-1，2），
∴直线l的斜率k′=

2- 1 2

-1-(- 1 2 )

=-3，
∴直线x+3y-1=0关于x-y+1=0的对称直线的方程为：y-2=-3（x+1），
整理得：3x+y+1=0．

点评：本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．