Question

已知函数f（x）=（x²-x-

1

a

）×e^ax（a＞0）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈[0，2]，恒有f（x）+

2

a

≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=2时，f（x）=（x²-x-

1

2

）e^2x，得到f′（x）=2e^2x（x²-1），从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）令g（x）=（x²-x-

1

a

）•e^ax+

2

a

，通过求导得出g（x）_min=g（1）=

1

a

（2-e^a），从而只需2-e^a≥0即可，进而解出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=（x²-x-

1

2

）e^2x，
∴f′（x）=2e^2x（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
（Ⅱ）令g（x）=（x²-x-

1

a

）•e^ax+

2

a

，
∴g′（x）=e^ax（ax+2）（x-1），
∵a＞0，x∈[0，2]，∴e^ax（ax+2）＞0，
令g′（x）＞0，解得：1＜x≤2，
令g′（x）＜0，解得：0≤x＜1，
∴g（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
∴g（x）_min=g（1）=

1

a

（2-e^a），
∴只需2-e^a≥0即可，
∴0＜a＜ln2．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，求参数的范围，是一道中档题．