Question

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0，f（x）=x²-4x
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）求满足方程f（x）=-5的解．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据定义在R上的奇函数f（x）的图象关于原点对称，及x≥0时，f（x）=x²-4x可得到函数f（x）的图象；
（2）当x＜0时，-x＞0，结合x≥0，f（x）=x²-4x，及f（-x）=-f（x）可得x＜0时，函数的解析式，最后综合讨论结果，可得函数f（x）的解析式；
（3）分当x＜0时和当x≥0时，两种情况求解方程f（x）=-5，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解 （1）∵当x≥0时，f（x）=x²-4x，
又由奇函数f（x）的图象关于原点对称，
故函数f（x）的图象如下图所示：
  （4分）    
（2）∵当x≥0时，f（x）=x²-4x，
∴当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=x²+4x=-f（x）．
∴f（x）=-x²-4x，
∴f(x)=

x2-4x x≥0 -x2-4x x＜0

（8分）
（3）当x≥0时，f（x）=x²-4x=-5无解；
当x＜0时，解-x²-4x=-5得：x=-5，或x=1（舍去），
综上所述，满足方程f（x）=-5的解为：x=-5（12分）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶生的性质，函数解析式的求法，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．