Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）与直线y=x-1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=-1，若动点P在抛物线C上（除原点外），点P处的切线记为m，过点F且与直线PF垂直的直线记为n．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线l，m，n相交于同一点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立直线与抛物线方程，利用相切关系求出p，即可得到抛物线C的方程；
（2）通过x²=4y，求导y′=

1

2

x，设P（x₀，y₀），得到则P处的切线方程为：y-y0=

1

2

x0(x-x0)，求出切线方程m方程，求出直线l，m相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)，推出直线PF的斜率为k=

y0-1

x0

=

x 2 0 -4

4x0

，通过n与直线PF垂直，求出n的方程为y=-

4x0

x 2 0 -4

x+1，推出直线l，n也相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)，即可说明直线l，m，n相交于同一点．

解答： （1）解：联立

x2=2py y=x-1

消去y得  x²-2px+2p=0
因为抛物线C与直线y=x-1相切，所以△=4p²-8p=0…（3分）
解得p=0（舍）或p=2…（4分）
所以抛物线的方程为x²=4y…（5分）
（2）证明：由x²=4y得y=

1

4

x2，求导有y′=

1

2

x…（6分）
设P（x₀，y₀），依题其中x₀≠0，则P处的切线方程为：y-y0=

1

2

x0(x-x0)∵y0=

1

4

x

2 0

∴切线方程m：y=

1

2

x0x-

1

4

x

2 0

…（8分）
与直线l：y=-1联立得：x=

x 2 0 -4

2x0

，即直线l，m相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)…（9分）
直线PF的斜率为k=

y0-1

x0

=

x 2 0 -4

4x0

因为n与直线PF垂直，所以kn=-

1

k

=-

4x0

x 2 0 -4

…（11分）
因为n过点F，所以n的方程为y=-

4x0

x 2 0 -4

x+1…（12分）
与直线l：y=-1联立得：x=

x 2 0 -4

2x0

，即直线l，n也相交于(

x 2 0 -4

2x0

，-1)…（13分）
故直线l，m，n相交于于同一点．…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线方程的综合应用，抛物线方程的求法，三点共线的证明，考查逻辑推理能力以及计算能力．