Question

已知函数f（x）=sin²x+2mcosx+4m-1，m∈R．
（1）当m=

1

2

时，求函数的最值并求出对应的x值；
（2）如果对于区间（-

π

2

，

π

2

]上的任意一个x，都有f（x）≤5恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）当m=

1

2

时，函数f（x）=-（cosx-

1

2

）²+

9

4

，结合二次函数的图象和性质，及cosx∈[-1，1]，可得函数的最值并求出对应的x值；
（2）令t=cosx，则由x∈（-

π

2

，

π

2

]得：t∈[0，1]，则函数f（x）=-cos²x+2mcosx+4m，可化为一个关于t的二次函数g（t）=-t²+2mt+4m，进而结合二次函数的图象和性质，将问题转化为函数最值问题，进而可满足条件的m的取值范围．

解答： 解：（1）当m=

1

2

时，函数f（x）=sin²x+cosx+2-1=-cos²x+cosx+2=-（cosx-

1

2

）²+

9

4

，
当cosx=

1

2

时，即x=±

π

3

+2kπ，k∈Z时，函数f（x）取最大值

9

4

，
当cosx=-1时，即x=π+2kπ，k∈Z函数f（x）取最小值0；
（2）函数f（x）=sin²x+2mcosx+4m-1=-cos²x+2mcosx+4m，
令t=cosx，则由x∈（-

π

2

，

π

2

]得：t∈[0，1]，
则原函数可化为g（t）=-t²+2mt+4m，其图象是开口朝下，且以直线t=m为对称轴的抛物线，
①当m≤0时，f（x）≤5恒成立，可化为：f（x）_max=g（0）=4m≤5，解得：m≤

5

4

，
∴m≤0；
②当0＜m＜1时，f（x）≤5恒成立，可化为：f（x）_max=g（m）=m²+4m≤5，解得：-5≤m≤1，
∴0＜m＜1；
③当m≥1时，f（x）≤5恒成立，可化为：f（x）_max=g（1）=6m-1≤5，解得：m≤1，
∴m=1；
综上所述，m的取值范围为m≤1．

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，恒成立问题，二次函数的图象和性质，其中利用换元法，将较为复杂的三角函数转化为二次函数，是解答的关键．