Question

已知f（x）=

1

4

x-x³．
（1）求f（x）在x=1的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出f′（1），再求出f（1），代入切线方程即可，（2）求出导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答： 解：（1）：f′（x）=

1

4

-3x²，
∴f′（1）=-

11

4

，
又x=1时，f（1）=-

3

4

，
切线方程为：y+

3

4

=-

11

4

（x-1），
即：11x+4y-8=0；
（2）：∵f′（x）=

1

4

-3x²，
令f′（x）＞0，解得：-

3

6

＜x＜

3

6

，
令f′（x）＜0，解得：x＞

3

6

，或x＜-

3

6

，
∴f（x）在（-∞，-

3

6

）递减，在（-

3

6

，

3

6

）递增，在（

3

6

，+∞）递减，
∴f（x）_极小值=f（-

3

6

）=-

3

36

，f（x）_极大值=f（

3

6

）=

3

36

．

点评：本题考查了函数的切线方程，考查导数的应用，函数的单调性和极值，是一道基础题．