Question

已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）假设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）欲证平面EBD⊥平面SAC，只需证BD⊥面SAC，利用线面垂直的判定定理可证得；
（2）过A作AF⊥SO交SO于点F，则AF⊥面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离，利用等面积法求出线段AF的长即可；

解答： 证明：（1）∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵SA⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵SA∩AC=A，SA，AC?面SAC，
∴BD⊥面SAC，
又∵BD?面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC；
解：（2）由（1）知，BD⊥面SAC，又∵BD?面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC，
设AC∩BD=O，则平面SBD∩平面SAC=SO，
过A作AF⊥SO交SO于点F，
则AF⊥面SBD，
所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离．
∵ABCD是正方形，AB=2，
∴AO=

2

，
又∵SA=4，△SAO是Rt△，
∴SO=3

2

，
∵SO×AF=SA×AO，
∴AF=

4

3

，
∴点A到平面SBD的距离为

4

3

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．