Question

已知函数f（x）=

ex

1+ax2

，其中a为实数，常数e=2.718…．
（1）若x=

1

3

是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当a取正实数时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=-4时，直接写出函数f（x）的所有减区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）通过x=

1

3

，利用函数f（x）的一个极值点，列出关系式即可求a的值；
（2）当a取正实数时，利用导数以及导函数为0，判断函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；
（3）当a=-4时，结合（2）即可直接写出函数f（x）的所有减区间．

解答： （本小题满分12分）
（1）解：f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

（2分）
因为x=

1

3

是函数f（x）的一个极值点，所以f′(

1

3

)=0，
即

1

9

a-

2

3

a+1=0，a=

9

5

．
而当a=

9

5

时，ax2-2ax+1=

9

5

(x2-2x+

5

9

)=

9

5

(x-

1

3

)(x-

5

3

)，
可验证：x=

1

3

是函数f（x）的一个极值点．因此a=

9

5

．（4分）
（2）当a取正实数时，f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0得ax²-2ax+1=0，
当a＞1时，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．
所以当x变化时，f'（x）、f（x）的变化是

x	(-∞， a- a2-a a )	a- a2-a a	( a- a2-a a ， a+ a2-a a )	a+ a2-a a	( a+ a2-a a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f（x）的单调递增区间为(-∞，

a- a2-a

a

)，(

a+ a2-a

a

，+∞)，
单调减区间为(

a- a2-a

a

，

a+ a2-a

a

)；
当0＜a≤1时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）．（9分）
（3）当a=-4时，f（x）的单调减区间是(-∞，-

1

2

)，(-

1

2

，1-

5

2

)，(1+

5

2

，+∞)．

点评：本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力．