Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），过F₁作与x轴不重合的直线l交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）若△ABF₂为正三角形，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆的离心率满足0＜e＜

5 -1

2

，O为坐标原点，求证OA²+OB²＜AB²．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距为2c=2，由△ABF₂是正三角形，得a=2

3

，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程；
（II）设出A，B的坐标，结合0＜e＜

5 -1

2

，c=1，可得a＞

5 +1

2

，分当直线l斜率不存在时，和当直线l斜率存在时，两种情况分别讨论

OA

•

OB

的符号，进而分析∠AOB的大小，可判断OA²+OB²＜AB²是否成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴2c=2，c=1，
若△ABF₂为正三角形，则2a=2

3

，
即a=

3

，
故a²=3，b²=2，
故椭圆的标准方程为：

x2

3

+

y2

2

=1
（II）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵0＜e＜

5 -1

2

，c=1，
∴a＞

5 +1

2

，
①当直线l斜率不存在时，

1

a2

+

y2

b2

=1，y2=

b4

a2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-

b4

a2

=

-a4+3a2-1

a2

=

-(a2- 3 2 )2+ 5 4

a2

，
∵a²＞

5 +3

2

，
∴

OA

•

OB

＜0，
∴∠AOB为钝角，
∴OA²+OB²＜AB²．
②当直线l斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入

x2

a2

+

y2

b2

=1整理得：
（b²+a²k²）x²+2a²k²x+a²k²-a²b²=0，
则x₁x₂=

a2k2-a2b2

b2+a2k2

，x₁+x₂=

-2a2k2

b2+a2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂（1+k²）+k²（x₁+x₂）+k²
=

(a2k2-a2b2)(1+k2)-2a2k4+k2(b2+a2k2)

b2+a2k2

=

k2(a2+b2-a2b2)-a2b2

b2+a2k2

=

k2(-a4+3a2-1)-a2b2

b2+a2k2

，
由①知，-a⁴+3a²-1＜0，
故

OA

•

OB

=

k2(-a4+3a2-1)-a2b2

b2+a2k2

＜0，
∴∠AOB为钝角，
∴OA²+OB²＜AB²．
综上所述：OA²+OB²＜AB²恒成立

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．