Question

已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把ρsin²θ=4cosθ化为直角坐标方程为y²=4x，可得曲线C的形状．
（Ⅱ）根据直线l过点（1，0）和点（0，1），可得直线l的斜率为-1，倾斜角α=

3π

4

，把直线l的参数方程代入y²=4x化简，利用韦达定理求得AB=|t₁-t₂|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x，
从而曲线C的形状是顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．
（Ⅱ）∵直线l过点（1，0）和点（0，1），∴直线l的斜率为-1，从而其倾斜角α=

3π

4

，
∴直线l的参数方程为

x=- 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数），代入y²=4x，化简可得t2+6

2

t+2=0，
设点A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则 t₁+t₂=-6

2

，t₁•t₂=2，
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=8．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，参数的几何意义，属于基础题．