Question

已知函数f（x）=x²-2ax，把函数f（x）的图象向左平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．
（1）若g（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）若2f（x）-g（x）+2（x-a）＞0对于x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得g（x）=f（x+1）为偶函数，满足g（-x）=g（x），进而根据多项式相等的充要条件，求出实数a的值；
（2）若2f（x）-g（x）+2（x-a）＞0对于x∈[1，+∞）恒成立，即a＜

1

2

(x-

1

x

)对于x∈[1，+∞）恒成立，分析y=x-

1

x

在[1，+∞）上为增函数，进而求出其最小值，可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）的图象向左平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象
∴g（x）=f（x+1）=（x+1）²-2a（x+1）=x²+2（1-a）x-2a+1，
又∵g（x）为偶函数，
∴g（-x）=g（x），
即x²-（1-a）x-2a+1=x²+2（1-a）x-2a+1
∴a=1
（2）∵2f（x）-g（x）+2（x-a）=x²-2ax-1＞0对于x∈[1，+∞）恒成立，
故a＜

1

2

(x-

1

x

)对于x∈[1，+∞）恒成立，
∵y=x-

1

x

在[1，+∞）上为增函数，
故当x=1时，y取最小值0，
故a＜0，
即a实数a的取值范围为（-∞，0）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的图象与图象变化，恒成立问题，是函数较为综合的考查和应用，难度中档．