Question

成都外国语学校开设了甲，乙，丙三门选修课，学生对每门均可选或不选，且选哪门课程互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率为0.88，用ξ表示该学生选修课程的门数，用η表示该学生选修课程门数和没有选修课程门数的乘积．
（1）记“函数f（x）=x²+ηx为偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,概率的基本性质

专题：概率与统计

分析：设该生选修甲，乙，丙课程的概率依次为P₁，P₂，P₃，由已知得得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，由题意η=0，即该生为选三门或一门都不选．由此能求出事件A的概率．
（2）由题意可设ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）设该生选修甲，乙，丙课程的概率依次为P₁，P₂，P₃，
则由题意知

p1(1-p2)(1-p3)=0.08 p1p2(1-p3)=0.12 1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=0.88

，
解得p₁=0.4，p₂=0.6，p₃=0.5，…（4分）
由题意η=0，即该生为选三门或一门都不选．
因此P（η=0）=0.4×0.6×0.5+（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.24，
所以事件A的概率P（A）=0.24．…（6分）
（2）由题意可设ξ可能取的值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-0.4）（1-0.6）（1-0.5）=0.12，
P（ξ=1）=0.4×（1-0.6）（1-0.5）+（1-0.4）×0.6×（1-0.5）+（1-0.4）（1-0.6）×0.5=0.38，
P（ξ=2）=0.4×0.6×（1-0.5）+0.4×（1-0.6）×0.5+（1-0.4）×0.6×0.5=0.38，
P（ξ=3）=0.4×0.6×0.5=0.12，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.12	0.38	0.38	0.12

ξ的分布列为：Eξ=0×0.12+1×0.38+2×0.38+3×0.12=1.5．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查注意离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．