Question

在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA+tanB+

3

tanAtanB=

3

，c=3．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）依题意，利用两角和的正切可求得tan（A+B）=-

3

，再利用诱导公式可知，在△ABC中，tan（A+B）=-tanC，从而可得C的值；
（Ⅱ）利用余弦定理可得a²+b²+ab=9，再利用基本不等式可得9-ab=a²+b²≥2ab，ab≤3，从而可求三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵tanA+tanB+

3

tanAtanB=

3

，
∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

3

tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-

3

，
又∵C∈（0，π）∴C=

2π

3

…（5分）
（Ⅱ）由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²，得a2+b2-2ab×(-

1

2

)=9，即a²+b²+ab=9，∴9-ab=a²+b²≥2ab，ab≤3，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3 3

4

，
当且仅当a=b=

3

时，三角形ABC面积的最大值为

3 3

4

…（10分）

点评：本题考查两角和与差的正切函数，着重考查整体代换意识与运算能力，考查余弦定理与基本不等式、三角形的面积公式，属于中档题．