Question

在锐角△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

x

=（2sinB，

3

），

y

=（2cos²B-1，cosB），且向量

x

与

y

共线．
（1）求角B的大小；
（Ⅱ）如果b=1，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（I）由向量

x

与

y

共线，求得tan2B=

3

，再结合0＜B＜

π

2

，求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理、基本不等式求得ac≤2+

3

，可得s△ABC=

1

2

acsinB≤

1

4

(2+

3

)，从而求得△ABC的面积S_△ABC的最大值．

解答： 解：（I）由向量

x

与

y

共线有：2sinBcosB=

3

(2cos2B-1)，即tan2B=

3

．
又0＜B＜

π

2

，所以0＜2B＜π，则2B=

π

3

，即B=

π

6

．
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，即 1=a2+c2-

3

ac≥(2-

3

)ac，
所以ac≤2+

3

，当且仅当a=c时等号成立，
所以s△ABC=

1

2

acsinB≤

1

4

(2+

3

)，即△ABC的面积S_△ABC的最大值为

2+ 3

4

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．