Question

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：
（1）y与a-x和x的乘积成正比；
（2）x=

a

2

时，y=a²；
（3）0≤

x

2(a-x)

≤t，其中为常数，且t∈[0，1]．
求：（Ⅰ）设y=f（x），求f（x）表达式，并求y=f（x）的定义域；
（Ⅱ）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：常规题型,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设y=k（a-x）x求k，并由0≤

x

2(a-x)

≤t求出定义域，（Ⅱ）注意对t与a的讨论．

解答： 解：（Ⅰ）设y=k（a-x）x，
∵x=

a

2

时，y=a²；
∴k=4，
∴y=4（a-x）x，
∵0≤

x

2(a-x)

≤t，
∴0≤x≤

2at

1+2t

，
∴y=f（x）的定义域为[0，

2at

1+2t

]，t∈[0，1]．
（Ⅱ）y=4（a-x）x=-4（x-

a

2

）²+a²
当

2at

1+2t

≥

a

2

，即

1

2

≤t≤1时，
x=

a

2

时，y_max=a²，
当

2at

1+2t

＜

a

2

，即0≤t＜

1

2

时，
y=f（x）在[0，

2at

1+2t

]上为增函数，
∴当x=

2at

1+2t

时，y_max=

8a2t

(1+2t)2

，
∴当

1

2

≤t≤1时，投入x=

a

2

万元时，附加值最大为y_max=a²万元，
当0≤t＜

1

2

时，投入x=

2at

1+2t

万元时，附加值最大为y_max=

8a2t

(1+2t)2

万元．

点评：本题考查了函数表达式的求法及定义域的求法，同时考查了最值的求法及分类讨论的数学思想．