Question

已知函数f（x）=2x²-（k²+k+1）x+15，g（x）=k²x-k，其中k∈R．
（1）若f（x）+g（x）≥0，对x∈[1，4）恒成立，求实数k的取值范围；
（2）设函数q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

是否存在实数k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）将问题转化为k≤

2x2-x+15

x+1

对x∈[1，4）恒成立，令p（x）=

2x2-x+15

x+1

，（x∈[1，4]），通过求导得出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，进而得出答案；
（2）根据q（x）的解析式可得k≠0，当x≥0时，求得q（x）的值域当x＜0时，求得q（x） 的值域，①当x₂＞0时，
可得k≤-15；②当x₂＜0时，可得k≥-15，结合①②可得k的值．

解答： 解：（1）由题意可得 f（x）+g（x）=2x²-（k+1）x+15-k≥0对x∈[1，4）恒成立，
?k≤

2x2-x+15

x+1

对x∈[1，4）恒成立，
令p（x）=

2x2-x+15

x+1

，（x∈[1，4]），
∴p′（x）=

2x2+4x-16

(x+1)2

，
令p′（x）＞0，解得：2＜x≤4，
令p′（x）＜0，解得：1≤x＜2，
∴p（x）在[1，2）递减，在（2，4]递增，
∴p（x）_min=p（2）=7，
∴k≤7．
（2）函数设函数q（x）=

g(x)，x≥0 f(x)，x＜0

，
即 q（x）=

k2x-k，x≥0 2x2-(k2+k+1)x+15，x＜0

，
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=k²x-k∈[-k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=2x²-（k²+k+1）x+15∈（15，+∞）．
记A=[-k，+∞），记 B=（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A?B，
故-k≥15，解得 k≤-15．
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B?A，
故-k≤15，解得 k≥-15．
综上可得，k=-15满足条件．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，导数的应用，考查函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．