Question

已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=-x²-2，
（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化为a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+

2

x

，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=xlnx+x，由导数的运算法则可得：f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，可得x=

1

e2

．对m分类讨论：当0＜m＜

1

e2

时，及当m≥

1

e2

时，分别研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，即a≤lnx+x+

2

x

在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+

2

x

，
则F′（x）=

(x+2)(x-1)

x2

，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．…（6分）
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=xlnx+x，
f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e2

．
①当0＜m＜

1

e2

时，在x∈[m，

1

e2

）上f′（x）＜0；在x∈（

1

e2

．m+3]上f′（x）＞0．
因此，f（x）在x=

1

e2

处取得极小值，也是最小值．f_min（x）=-

1

e2

．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．
②当m≥

1

e2

，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，
∴f_min（x）=f（m）=m（lnm+1）．…（13分）

点评：该题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．