Question

已知函数f（x）=x²-x+1，x∈（1，+∞）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）如果数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），求证：

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（3）在（2）条件下，若a₁=

3

2

，证明：1＜

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）直接利用配方法结合函数的单调性求二次函数的值域；
（2）由a_n+1=f（a_n），得an+1=an2-an+1，整理变形得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（3）由（2）中的结论得到

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2013-1

-

1

a2014-1

)=

1

a1-1

-

1

a2014-1

．结合首项的值及函数值域得答案．

解答： 解：（1）f（x）=x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

．
当x=1时，y=1，
∵x∈（1，+∞）．
∴函数f（x）的值域为（1，+∞）；
（2）由a_n+1=f（a_n），得
an+1=an2-an+1，整理得：a_n+1-1=a_n（a_n-1），
即

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

；
（3）由

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，得

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2013

=(

1

a1-1

-

1

a2-1

)+(

1

a2-1

-

1

a3-1

)+…+(

1

a2013-1

-

1

a2014-1

)
=

1

a1-1

-

1

a2014-1

．
∵a₁=

3

2

，且a₂₀₁₄＞1，
∴1＜

1

a1-1

-

1

a2014-1

＜2．

点评：本题考查了二次函数值域的求法，考查了裂项法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是压轴题．