Question

（1）已知两正数a，b满足a+b=1．求

2a+1

+

2b+1

的最大值；
（2）设a＞0，b＞0，a+b+ab=24，求a+b的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）方法一：平方整理后，再利用ab≤（

a+b

2

）²=

1

4

；
方法二：利用柯西不等式即可得出；
（2）利用ab≤（

a+b

2

）²，转化为（a+b）²+4（a+b）-96≥0，解出即可．

解答： 解：（1）方法一：（

2a+1

+

2b+1

）²=2a+1+2b+1+2

(2a+1)(2b+1)

=2（a+b）+2+2

4ab+2(a+b)+1

=4+2

4ab+3

．
∵a，b是正数，且a+b=1，∴ab≤（

a+b

2

）²=

1

4

，
∴（

2a+1

+

2b+1

）²≤8，
∴0＜

2a+1

+

2b+1

≤2

2

，
当且仅当a=b=

1

2

时，（

2a+1

+

2b+1

）_max=2

2

．
方法二：

2a+1

+

2b+1

≤

2

•

(2a+1)2+(2b+1)2

=2

2

．
（2）a+b+ab≤a+b+(

a+b

2

)2，
∴a+b+(

a+b

2

)2≥24，
∴（a+b）²+4（a+b）-96≥0，
解得a+b≥8或a+b≤-12最小值为8．

点评：本题考查了基本不等式的性质、柯西不等式的性质、平方法，考查了计算能力，属于较基础题．