Question

设函数f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x•f（x）≤a对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=

1+ax

x

，x＞0，讨论当a≥0时，当a＜0时的情况，从而求出单调区间；
（Ⅱ）x•f（x）≤a对任意x≥1恒成立?f（x）-

a

x

≤0对x≥1恒成立．令g（x）=f（x）-

a

x

，x≥1，则g（1）=0，g′（x）=

ax2+x+a

x2

，令h（x）=ax²+x+a，x≥1，讨论当a≥0时，当a＜0时的情况，综合得出a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1+ax

x

，x＞0，
当a≥0时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
当a＜0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0，得x＞-

1

a

，
所以f（x）的单调递增区间为（0，-

1

a

），单调递减区间为（-

1

a

，+∞）．
（Ⅱ）x•f（x）≤a对任意x≥1恒成立?f（x）-

a

x

≤0对x≥1恒成立．
令g（x）=f（x）-

a

x

，x≥1，则g（1）=0，g′（x）=

ax2+x+a

x2

，
令h（x）=ax²+x+a，x≥1，
当a≥0时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）单调递增，故g（x）≥g（1）=0，不符合．
当a＜0时，h（x）的对称轴方程为x=-

1

2a

＞0，
i．若-

1

2a

≤1，即a≤-

1

2

，此时h（1）=1+2a≤0，即h（x）≤0，则g′（x）≤0对于x≥1恒成立，即g（x）在[1，+∞）单调递减，故g（x）≤g（1）=0，符合．
ii．若-

1

2a

＞1，即-

1

2

＜a＜0，此时h（1）=1+2a＞0，此时h（x）必有两个零点x₁，x₂，
则x₁•x₂=1，不妨设x₁＜x₂，则h（x）在（1，x₂）恒大于零，即g（x）在（1，x₂）恒成立
即g（x）在[1，x₂）单调递增，故当x∈（1，x₂），g（x）≥g（1）=0，不符合．
综述所述 a的取值范围为（-∞，-

1

2

]．

点评：本题主要考查函数的单调性、导数的运算法则、导数应用、恒成立问题等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力．