Question

定义在R上的函数f（x）满足：
（1）f（x）+f（y）+1≥f（x+y）≥f（x）+f（y）；
（2）f（0）≥f（x），x∈[0，1）；
（3）-f（-1）=f（1）=1
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）当x∈[0，1）时，求证：f（x）=0
（Ⅲ）若集合M={（x，y）|f（x）f（y）=7}，求集合M在平面直角坐标系中对应的平面区域的面积．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=0，得f（0）≤0，再令x=1，y=-1，得f（0）≥0，即f（0）=0；
（Ⅱ）运用反证法，假设?x₀∈[0，1），使得f（x₀）＜0，由条件推出矛盾即可；
（Ⅲ）由条件推得f（x+1）=f（x）+1，再由累加法得到f（x+n）=f（x）+n，又由f（x）=0，x∈[0，1），因为7为素数，故f（x）f（y）=1×7，得到四种情况，分别求出x，y的范围，计算面积，求和即可．

解答： （Ⅰ）解：令x=y=0，得f（0）≥2f（0），即f（0）≤0
再令x=1，y=-1，得f（0）≥f（1）+f（-1）=0，故f（0）=0．
（Ⅱ）证明：假设?x₀∈[0，1），使得f（x₀）＜0，则f（1-x₀）＜0，由已知可得：
f（x₀）+f（1-x₀）+1≥f（1）=1，即f（x₀）+f（1-x₀）≥0，与假设矛盾，得证．
（Ⅲ）解：由已知：f（x+1）≥f（x）+f（1）=f（x）+1，f（x）≥f（x+1）+f（-1）=f（x+1）-1
即f（x+1）≤f（x）+1，所以f（x+1）=f（x）+1
所以f（x+1）-f（x）=1，f（x+2）-f（x+1）=1，…，f（x+n）-f（x+n-1）=1相加得：f（x+n）=f（x）+n
又由f（x）=0，x∈[0，1），可知f（x）在R上不减，
且x＞0时，都有f（x）≥0，x＜0时，都有f（x）≤0，
又因为7为素数，故f（x）f（y）=1×7，所以：

f(x)=1 f(y)=7

或

f(x)=-1 f(y)=-7

或

f(x)=7 f(y)=1

或

f(x)=-7 f(y)=-1

可得：

1≤x＜2 7≤y＜8

或

-1≤x＜0 -8≤y＜-7

或

7≤x＜8 1≤y＜2

或

-8≤x＜-7 -1≤y＜0

它们分别代表四个边长为1的正方形，故面积和为4．
即集合M在平面直角坐标系中对应的平面区域的面积为4．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查两边夹法则的运用，以及反证法，以及累加法求函数解析式，是一道综合题．