Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF
（Ⅱ）求PD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF．
（Ⅱ）以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD，AP的方向为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PD与平面PAB所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取PD的中点M，
∵E是PC的中点，
∴ME是△PCD的中位线，
∴ME∥FB，
∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（Ⅱ）解：以A为原点，垂直于AD、AP的方向为x轴，AD，AP的方向为y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（

3

，1，0），
∴

PD

=（0，2，-2），

PA

=（0，0，-2），

PB

=(

3

，1，-2)，
设平面PAB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PA =-2z=0 n • PB = 3 x+y-2z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，-3，0），
设PD与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

PD

＞|=|

2×(-3)

4+4 • 3+9

|=

6

4

．
∴PD与平面PAB所成角的正弦值为

6

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．