Question

已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x（2-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象（不需列表）；
（3）讨论方程f（x）-k=0的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数f（x）是偶函数，及当x≥0时，f（x）=x（2-x），可以设x≤0，可得-x≥0，代入解析式化简后，由偶函数的性质即可求解；
（2）利用函数的解析式、二次函数的图象，画出函数的图象，并描出重要的点；
（3）方程f（x）=k的根的情况，利用数形结合的方法进行讨论．

解答： 解：（1）设x≤0，则-x≥0，
∵当x≥0时，f（x）=x（2-x），
∴f（-x）=-x（x+2）；…1分
由f（x）是定义域为R的偶函数知：f（-x）=f（x），…2分
∴f（x）=-x（x+2），（x∈（-∞，0]）；…3分
所以函数f（x）的解析式是f(x)=

x(2-x)，x∈[0，+∞) -x(x+2)，x∈(-∞，0)

．…4分
（2）函数f（x）的图象如图所示：…8分
（说明：图形形状正确，给2分；两点（-1，1），（1，1）少标示一个扣1分，共2分）
（3）由f（x）-k=0得：k=f（x），
根据函数f（x）的图象知：当k＜0或k=1时，方程f（x）-k=0有两个根，…9分
当k=0时，方程f（x）-k=0有三个根，…10分
当0＜k＜1时，方程f（x）-k=0有四个根．…11分
当k＞1时，方程f（x）-k=0没有实数根．…12分．

点评：本题主要考查偶函数的性质及其解析式的求法，二次函数的图象，利用数形结合的方法求方程解的个数，考查了数形结合思想．