Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数F（x）的单调区间；
（2）若以函数y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的最小值；
（3）是否存在实数m，使得当x∈（0，3]时函数y=g（

2a

x+1

）+m-1的图象与函数y=f（x+1）的图象恰有二个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求出F（x），然后求出F‘（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（2）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据k≤

1

2

恒成立将a分离出来，a≥（-

1

2

x₀²+x₀）_max，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（3）y=g（

2a

x+1

）+m-1的图象与函数y=f（x+1）的图象恰有二个不同的交点，即

1

2

x²+m-

1

2

=ln（x+1）有2个不同的根，分离参数求最值，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

（x＞0），F′（x）=

1

x

-

a

x2

（x＞0）．
因为a＞0由F′（x）＞0，可得x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由F′（x）＜0，可得x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．
（2）由题意可知k=F′（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

对任意0＜x₀≤3恒成立，
即有x₀-

1

2

x₀²≤a对任意0＜x₀≤3恒成立，即（x₀-

1

2

x₀²）_max≤a，
令t=x₀-

1

2

x₀²=-

1

2

（x₀-1）²+

1

2

≤

1

2

，
则a≥

1

2

，即实数a的最小值为

1

2

．
（2）y=g（

2a

x+1

）+m-1的图象与函数y=f（x+1）的图象恰有二个不同的交点，即

1

2

x²+m-

1

2

=ln（x+1）有2个不同的根，
∴m=-

1

2

x²+ln（x+1）+

1

2

有2个不同的根，
令h（x）=-

1

2

x²+ln（x+1）+

1

2

，则h′（x）=-x+

1

x+1

=0，
可得x=

-1+ 5

2

，此时函数取得最大值

5 -1

4

+ln

1+ 5

2

，
∴m＜

5 -1

4

+ln

1+ 5

2

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．