Question

已知⊙C的圆心为（3，1），且与y轴相切．若⊙C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题设圆的方程为（x-3）²+（y-1）²=9，联立（x-3）²+（y-1）²=9与y=x+a，得x²+（a-4）x+

1

2

（a-1）²=0．由此利用韦达定理和OA⊥OB，能求出a的值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设圆的方程为（x-3）²+（y-1）²=9，
联立（x-3）²+（y-1）²=9与y=x+a，
整理消去y得x²+（a-4）x+

1

2

（a-1）²=0．
由韦达定理x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

1

2

（a-1）²．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（x₁+a）（x₂+a）
=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²
=（a-1）²+a（4-a）+a²=（a+1）²．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=(a+1)2=0，解得a=-1．

点评：本题考查实数的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆的位置关系的合理运用．