Question

已知二次函数f（x）=x²+x，若不等式f（-x）+f（x）≤2|x|的解集为C．
（1）求集合C；
（2）记f（x）在C上的值域为A，若g（x）=x³-3tx+

t

2

，x∈[0，1]的值域为B，且A⊆B，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,集合的包含关系判断及应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用,集合

分析：（1）化简，讨论x的符号，解二次不等式，求并集即可；
（2）求出二次函数在C上的值域，求g（x）的导数，讨论t的范围，①t≤0，②t≥1，③0＜t＜1，分别求出值域，再由集合的包含关系，求出t的范围，最后求并即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+x，∴f（-x）+f（x）=2x²，
当x≥0时，2x²≤2x，则0≤x≤1；当x＜0时，2x²≤-2x，则-1≤x＜0
∴集合C=[-1，1]；
（3）f（x）在C上的最小值为-

1

4

，最大值为2，则A=[-

1

4

，2]，
 g'（x）=3（x²-t），
①当t≤0时，函数g（x）=x³-3tx+

t

2

在x∈[0，1]单调递增，
∴函数g（x）的值域B=[

t

2

，1-

5

2

t]，∵A⊆B，∴

t 2 ≤- 1 4 2≤1- 5t 2

，
解得

t≤- 1 2 t≤- 2 5

，即t≤-

2

5

．
②若t≥1，g'（x）=3（x²-t）∴g（x₁）-g（x₂）＞0，函数g（x）在区间[0，1]单调递减，
则B=[1-

5t

2

，

t

2

]，∴

1- 5t 2 ≤- 1 4 t 2 ≥2

，又t≥1，∴t≥4．
③若0＜t＜1，此函数g（x）在[

t

，1]单调递增；在[0，

t

]单调递减．g（x）在x=

t

达到最小值．
要使A⊆B，则

g(0)≥2或g(1)≥2 g( t )≤- 1 4

，则

t≥4或t≤- 2 5 8( t )3-2t-1≥0

，
∵0＜t＜1，∴使得A⊆B的t无解．
综上所述：t的取值范围是：（-∞，-

2

5

]∪[4，+∞）．

点评：本题考查二次不等式的解法，二次函数在闭区间上的值域，考查运用导数求三次函数的值域，同时考查集合的包含关系，属于中档题．