Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象一个最低点为M（

5π

8

，-2），相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值，最小值及相应的x的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知最低点的坐标求得A，由相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

求得周期，利用周期公式求得ω，代入点的坐标求得φ则函数解析式可求；
（2）直接由x的范围求得f（x）的最大值，最小值及相应的x的值．

解答： 解：（1）由最低点为M(

5π

8

，-2)，得A=2．
相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，即T=π，
∴ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
再由最低点为M(

5π

8

，-2)在图象上得：2sin(2×

5π

6

+φ)=-2，
即sin(

5π

4

+φ)=-1．
故

5π

4

+φ=2kπ+

3π

2

，k∈Z，
∴φ=2kπ+

π

4

，k∈Z．
又φ∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

4

．
故f(x)=2sin(2x+

π

4

)；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]．
当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）取得最大值2； 
当2x+

π

4

=

5π

4

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-

2

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了三角函数最值得求法，是中档题．