Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx+cos²ωx+m（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，最大值为2．
（Ⅰ）求ω和m值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

+m，由周期公式和最大值为2易得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+1，由x∈[0，

π

2

]和三角函数的性质可得函数的最值，即得范围．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f(x)=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

+m
=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

+m．
由T=

2π

2ω

=π可得得ω=1，
由最大值为2可得1+

1

2

+m=2，解得m=

1

2

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(2x+

π

6

)+1．
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f(x)min=sin

7π

6

+1=

1

2

；
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f(x)max=sin

π

2

+1=2．
∴函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的取值范围是[

1

2

，2]

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的最值，属基础题．