Question

已知函数f（x）=（x-2）e^x和g（x）=kx³-x-2
（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出g'（x）=3kx²-1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；
（2）构造h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2，转化h（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通过h'（0）=0，对k≤

1

6

时，k＞

1

6

时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出k的最大值．

解答： 解：（1）g'（x）=3kx²-1…（1分）
①当k≤0时，g'（x）=3kx²-1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…（2分）
②当k＞0时，g（x）在(0，

1 3k

)上单调递减，在(

1 3k

，+∞)上单调递增，
因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以1＜

1 3k

＜2，解得

1

12

＜k＜

1

3

…（4分）
综上k的取值范围是

1

12

＜k＜

1

3

．…（5分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2
依题可知h（x）=（x-2）e^x-kx³+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立     …（6分）
h'（x）=（x-1）e^x-3kx²+1，令φ（x）=h'（x）=（x-1）e^x-3kx²+1，
有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（e^x-6k）…（7分）
①当6k≤1，即k≤

1

6

时，
因为x≥0，e^x≥1，所以φ'（x）=x（e^x-6k）≥0
所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0
故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增
又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；…（10分）
②当6k＞1，即k＞

1

6

时，
当x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（e^x-6k）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减，
又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0
所以h（x）在（0，ln（6k））上单调递减，又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））时h（x）＜0，
这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…（13分）
综上k≤

1

6

，即k的最大值是

1

6

．…（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．