Question

已知圆C过点P（

2

2

，

2

2

），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设Q为圆C上的一个动点，求

PQ

•

MQ

的最小值；
（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆心C（a，b），由已知得

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，由此得圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入，能示出圆C的方程．
（2）设Q（x，y），则x²+y²=1，且

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-3，由此利用圆的参数方程能求出

PQ

•

MQ

的最小值．
（3）由题意知直线PA与直线PB的斜率存在，且互为相反数，由已知条件求出xA=

2

2

•

k2-2k-1

1+k2

，x_B=

2

2

•

k2+2k-1

1+k2

，从而推导出k_AB=k_OP，进而得到直线OP和直线AB一定平行．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），
则

a-2 2 + b-2 2 +2=0 b+2 a+2 =1

，解得a=0，b=0，
∴圆C的方程为x²+y²=r²，
将点P的坐标代入，得r²=1，
故圆C的方程为x²+y²=1．
（2）设Q（x，y），则x²+y²=1，
且

PQ

•

MQ

=（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=x²+y²+x+y-4=x+y-3，
∵

x=cosθ y=sinθ

，
∴

PQ

•

MQ

=cosθ+sinθ-3=

2

sin(θ+

π

4

)-3，
∴

PQ

•

MQ

的最小值为-3-

2

；
（3）由题意知直线PA与直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故设PA：y-

2

2

=k(x-

2

2

)，PB：y-

2

2

=-k(x-

2

2

)，
由

y- 2 2 =k(x- 2 2 ) x2+y2=1

，得(1+k2)x2+

2

k(1-k)x+

1

2

(1-k)2-1=0，
∵点P的横坐标为x=

2

2

一定是该方程的解，故得xA=

2

2

•

k2-2k-1

1+k2

，
同理x_B=

2

2

•

k2+2k-1

1+k2

，
∴k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB- 2 2 )-k(xA- 2 2 )

xB-xA

=

2 k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_OP，
∴直线OP和直线AB一定平行．

点评：本题考查圆的方程的求法，考查向量的数量积的最小值的求法，考查直线OP和AB是否平行的判断，解题时要认真审题，注意圆的参数方程的合理运用．