Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|
（Ⅰ）若函数φ（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数的零点

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）方程|f（x）|=g（x）可化为|x-1|（|x+1|-a）=0，易知x=1已是该方程的根，从而要使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，结合图象可得a的范围；
（2）当a≥-3时，求出函数h（x）=|f（x）|+g（x）的解析式，根据分段函数最值的求法，分别求出各断上函数的最值，然后求出它们的最大值即可．

解答： 解：（1）函数φ（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即|x²-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而要使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，
作出函数y=|x+1|的图象如图所示：
结合图形得a＜0．
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2-ax+a-1，-2≤x≤-1 -x2-ax+a+1，-1＜x≤1

，
当-2≤x＜-1时，

a

2

≥-

3

2

，当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-

a

2

）}=max{0，

1

4

a2+a+1，2a}=

1

4

a2+a+1．

点评：本题考查函数的零点和二次函数在定区间上的最值问题，其中求出函数的解析式是关键，求出分段函数在各断上的最值，再比较大小是难点，考查运算能力和分类讨论的数学思想．