Question

已知{a_n}是等差数列，其中a₁=25，a₄=16
（1）求数列前n项和S_n的最大值及相应的n；
（2）求|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式求出公差d=-3，从而求出S_n=-

3

2

n2+

53

2

n=-

3

2

(n-

53

6

)2+

8427

72

，由此能求出n=9时，数列前n项和S_n取最大值S  9=117．
（2）a_n=25+（n-1）×（-3）=28-3n，由a_n=28-3n≥0，得n≤

28

3

，从而a₈＞0，a₉＜0，由此能求出|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，a₁=25，a₄=16
∴25+3d=16，解得d=-3，
∴S_n=25n+

n(n-1)

2

×(-3)=-

3

2

n2+

53

2

n=-

3

2

(n-

53

6

)2+

8427

72

，
∴n=9时，数列前n项和S_n取最大值S  9=117．
（2）a_n=25+（n-1）×（-3）=28-3n，
由a_n=28-3n≥0，得n≤

28

3

，
∴a₈＞0，a₉＜0，
设|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值为T_n，
当n≤8时，T_n=S_n=-

3

2

n2+

53

2

n，
当n≥9时，T_n=2S₈-S_n=

3

2

n2-

53

2

n+232．
|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值为：

- 3 2 n2+ 53 2 n，n≤8 3 2 n2- 53 2 n+232，n≥9

．

点评：本题考查数列前n项和S_n的最大值及相应的n的求法，考查|a₁|+|a₃|+|a₅|+…+|a₁₉|的值的求法，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．