Question

设二次函数y₁=ax²+bx+c（a＞b＞c），当自变量x=1时函数值为0，一次函数y₂=ax+b．
（1）求证：上述两个函数图象必有两个不同的交点；
（2）若二次函数图象与x轴有一交点的横坐标为t，且t为奇数时，求t的值；
（3）设上述两函数图象的交点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁，求线段A₁B₁的长的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由当自变量x=1时函数值为0，可得a+b+c=0，结合a＞b＞c，可得：a＞0，c＜0，联立两个函数的解析式，根据所得方程的△＞0，可得对应方程有两个解，即两个函数图象必有两个不同的交点；
（2）由（1）得x=1是二次函数与x轴交点的横坐标，满足题意；若另一根为t，即t≠1，且t为奇数，由韦达定理可得：-2＜t＜1，根据t为奇数，可得满足条件的t的值；
（3）两函数图象的交点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁，同A₁，B₁两点的横坐标即为方程ax²+（b-a）x+（c-b）=0的两根x₁，x₂，根据韦达定理的推论2构造|A₁B₁|的表达式，进而可求出线段A₁B₁的长的取值范围．

解答： 解：（1）当x=1时，y₁=a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
由

y=ax2+bx+c y=ax+b

得：ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
∵△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac＞0，
∴二次函数y₁=ax²+bx+c与一次函数y₂=ax+b的图象必有两个不同的交点；
（2）由（1）得x=1是二次函数与x轴交点的横坐标，满足题意；
若另一根为t，即t≠1，且t为奇数，
由韦达定理得：1+t=-

b

a

，1×t=

c

a

，
由（1）中a＞0，c＜0，可得：t=

c

a

＜0…①，
又由a＞b，a＞0，故

b

a

＜1，
即1+t=-

b

a

＜-1，
即t＞-2…②，
由①②及t为奇数可得：t=-1，
∴t=±1
（3）两函数图象的交点A、B在x轴上的射影分别为A₁，B₁，
同A₁，B₁两点的横坐标即为方程ax²+（b-a）x+（c-b）=0的两根x₁，x₂，
则|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(b-a)2-4a(c-b)

a

，
∵a+b+c=0，即c=-a-b，
∴|A₁B₁|=

(b-a)2-4a(-a-2b)

a

=

5a2+6ab+b2

a

=

( b a +3)2-4

（*），
由a+b+c=0可得：-a=b+c＜2b可得

b

a

＞-

1

2

，
结合（2）中

b

a

＜1可得：

b

a

∈（-

1

2

，1），
代入（*）式可得|A₁B₁|∈（

3

2

，2

3

）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，韦达定理，计算量大，综合性可，转化困难，属于难题．