Question

若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x都成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=sinπx，g（x）=x²是否为阶数为1的回旋函数，并说明理由；
（Ⅱ）证明：函数h（x）=2^x是回旋函数；
（Ⅲ）证明：若函数f（x）是一个阶数为a（a＞0）的回旋函数，则函数f（x）在[0，2014a]上至少存在2014个零点．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,新定义,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据回旋函数的定义，一一加以判断，注意运用诱导公式和恒成立思想；
（Ⅱ）由定义可得2^x+a+a•2^x=0?2^a=-a，则a＜0，令m（x）=2^x+x，运用零点存在定理，即可得证；
（Ⅲ）由定义得到f（x+a）=-af（x），由于a＞0，由零点存在定理得，在区间（x，x+a）上必有一个零点令x=0，a，2a，3a，…，2013a，即可得到．

解答： （Ⅰ）解：对于f（x）=sin（πx），sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，
对任意实数x成立，所以f（x）=sin（πx）是1阶回旋函数．
对于g（x）=x²，则（x+1）²+x²=0对任意实数都不成立，故g（x）=x²不是1阶回旋函数．
（Ⅱ）证明：对于h（x）=2^x，2^x+a+a•2^x=0?2^a=-a，则a＜0，
令m（x）=2^x+x，m（-1）＜0，m（0）＞0，则方程必有一解a，且-1＜a＜0，
故函数h（x）=2^x是回旋函数．
（Ⅲ）证明：若函数f（x）是一个阶数为a（a＞0）的回旋函数，
则f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+a）=-af（x），
由于a＞0，则f（x+a）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+a）上必有一个零点，
可令x=0，a，2a，3a，…，2013a，则函数f（x）在[0，2014a]上至少存在2014个零点．

点评：本题是新定义题，关键是理解新定义，利用新定义时，应注意赋值法的运用，同时考查零点存在定理的运用，属于中档题．