Question

不等式

1

x

+

1

y

-

λ

x+y

≥0对x，y∈R⁺恒成立，则λ的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0]
• B、（-∞，1）
• C、（-∞，4]
• D、（4，+∞）

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：问题可转化为只需λ≤（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值即可，变形由基本不等式可求（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值．

解答： 解：∵

1

x

+

1

y

-

λ

x+y

≥0对x，y∈R⁺恒成立，
∴λ≤（x+y）（

1

x

+

1

y

）对x，y∈R⁺恒成立，
∴只需λ≤（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值即可，
由基本不等式可得（x+y）（

1

x

+

1

y

）=2+

y

x

+

x

y

≥2+2

y x • x y

=4
当且仅当

y

x

=

x

y

即x=y时取等号，
∴（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值为4，
∴λ的取值范围是λ≤4
故选：C

点评：本题考查恒成立问题，变形并由基本不等式求出式子的最小值是解决问题的关键，属基础题．