Question

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆，且DC=2，DB=1，则△ABC外接圆的半径为

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：

分析：（1）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．

解答： 解：：∵BC•AE=DC•AF
∴

BC

DC

=

AF

AE

又 DC为圆的切线
∴∠DCB=∠EAF
∴△AFE∽△CBD
∴∠AFE=∠CBD
又又B，E，F，C四点共圆
∴∠AFE=∠CBE
∴∠CBD=∠CBE=90°
∴CA是△ABC外接圆的直径
CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D
利用切割线定理：DC²=DB•DA  DC=2，DB=1
解得：DA=4  BA=3
在Rt△CBD中，利用勾股定理求得
CB=

3

在Rt△CBA中，利用勾股定理求得
AC=2

3

则△ABC外接圆的半径为

3

．

点评：本题应用三角形相似，四点共圆，切割线定理等知识知识来证明CA是△ABC外接圆的直径．