Question

（1）已知曲线f（x）=ax²在x=1处的切线与x+2y=0垂直，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）与g（x）=

x

围成的平面图形的面积．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用,函数解析式的求解及常用方法,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）先求出f（x）=ax²在x=1处的切线斜率；再利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k₁•k₂=-1，求出未知数a，可得f（x）的解析式；
（2）求出交点坐标，即可求f（x）与g（x）=

x

围成的平面图形的面积．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²，
∴f′（x）=2ax，
由已知得：f′（1）=2，求得a=1---------------（2分）
∴f（x）=x²-----------------------------------------（4分）
（2）解方程组

y=x2 y= x

得 

x=0 y=0

或

x=1 y=1

…（8分）
∴曲线y=x²与y=

x

围成的平面图形的面积为
S=

∫

1 0

(

x

-x2)dx=

( 2 3 x 3 2 - 1 3 x3)|

1 0

=

2

3

-

1

3

=

1

3

…（13分）

点评：考查定积分的几何意义，考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率；两直线垂直斜率乘积为-1．属于较基础题．