Question

已知O为坐标原点，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且

AB

=

BP

．
（Ⅰ）若O，P，C三点共线，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长；
（Ⅱ）记函数f（α）=

BP

•

CA

，α∈（-

π

8

，

π

2

），试求函数f（α）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则由

AB

=

BP

求得x和y的值，可得点P的坐标．再根据

OP

∥

OC

求得cos2α=

9

25

，可得|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

 和|

OA

-

OB

|的值，从而得出结论．
（Ⅱ）由条件化简f（α）为

2

sin(2α+

π

4

)，根据α∈(-

π

8

，

π

2

)，利用正弦函数的定义域和值域求得-1＜

2

sin(2α+

π

4

)≤

2

，可得f（α）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则 

AB

=(cosα-sinα，-1)，

BP

=(x-cosα，y)，
∵

AB

=

BP

，∴cosα-sinα=x-cosα，y=-1，∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴点P的坐标为（2cosα-sinα，-1）．
由O、P、C三点共线知：

OP

∥

OC

，（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴

sinα

cosα

=

4

3

，∵sin²α+cos²α=1∴cos2α=

9

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

2sinαcosα+2

=

8 3 cos2α+2

=

74

5

，
∴|

OA

-

OB

|=

(sinα-cosα)2+1

=

2-2sinαcosα

=

2- 8 3 cos2α

=

26

5

，
∴以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长分别为

74

5

，

26

5

．
（Ⅱ）∵

BP

=(cosα-sinα，-1)，

CA

=(2sinα，-1)，
∴f（α）=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+cos2α=

2

sin(2α+

π

4

)．
∵α∈(-

π

8

，

π

2

)，∴0＜2α+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin(2α+

π

4

)≤1，-1＜

2

sin(2α+

π

4

)≤

2

．
∴f（α）的值域为(-1，

2

]．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．