Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-x-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＜1的解集．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（0）=0；当x＜0时，-x＞0，结合x＞0时，f（x）=x²-x-1，及f（-x）=-f（x）可得x＜0时，函数的解析式，最后综合讨论结果，可得函数f（x）的解析式；
（2）分当x＞0时，当x=0时，和当x＜0时三种情况，求解不等式f（x）＜1，最后综合讨论结果，可得不等式f（x）＜1的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-x-1．
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=x²+x-1=-f（x）．
∴f（x）=-x²-x+1，
∴f（x）=

-x2-x+1，x＜0 0，x=0 x2-x-1，x＞0

，
（2）当x＞0时，解f（x）=x²-x-1＜1得：0＜x＜2；
当x=0时f（0）=0＜1符合题意；
当x＜0时，解f（x）=-x²-x+1＜1得：x＜-1；
综上所述，不等式f（x）＜1的解集为：（-∞，-1）∪[0，2）

点评：本题考查的知识点是函数奇偶生的性质，函数解析式的求法，熟练掌握函数奇偶性的性质是解答的关键．