Question

已知数列

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…

1

n(n+1)

，…，计算S₁，S₂，S₃，由此推测计算S_n的公式，并证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

4

=

3

4

，猜想：S_n=1-

1

n+1

；利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答： 解：S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

=

2

3

，S₃=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=

3

4

，猜测S_n=

n

n+1

．
运用数学归纳法证明：当n=1时，S₁=

1

2

，S₁=

1

1×2

，等式成立，
假设当n=k时，S_k=

k

k+1

成立，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

k+1

-

1

k+2

=1-

1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即当n=k+1时，等式也成立．
故对n∈N*，测S_n=

n

n+1

都成立．

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．