Question

已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（

π

2

，-2）．
（1）求φ的值；
（2）若f（

α

2

）=

6

5

，-

π

2

＜α＜0，求sin（2α-

π

6

）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,二倍角的正弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接由函数f（x）=2sin（2x+φ）的图象过点（

π

2

，-2）列式求得sinφ=1，然后根据0＜φ＜2π得答案；
（2）由f（

α

2

）=

6

5

求得cosα=

3

5

，进一步求得sin2α，展开两角差的正弦得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜2π）的图象过点（

π

2

，-2），
∴f（

π

2

）=2sin（π+φ）=-2，
即sinφ=1．                    
∵0＜φ＜2π，
∴φ=

π

2

；
（2）由（1）得，f（x）=2cos2x．
∵f（

α

2

）=

6

5

，∴cosα=

3

5

．
又∵-

π

2

＜α＜0，
∴sinα=-

4

5

．
∴sin2α=2sinαcosα=-

24

25

，cos2α=2cos²α-1=-

7

25

．
从而sin（2α-

π

6

）=sin2αcos

π

6

-cos2αsin

π

6

=

7-24 3

50

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了由已知三角函数的值求三角函数的值，是中档题．