Question

已知函数f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=lnx+

a

x

，若对任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₂∈[1，e]，使得g（x₂）≤f（x₁）+

7

2

，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）利用函数的求导公式计算函数的导数，根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数为0，再把x=2代入函数，联立两式求出m，n的值即可．已知函数 f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．当且仅当x=1时取“=”．故f（x）的值域为[-2，2]．从而f（x₁）+

7

2

≥

3

2

．依题意有g（x）_最小值≤

3

2

．

解答： 解：（1）f′(x)=

m(x2+n)-2mx2

(x2+n)2

=

-mx2+mn

(x2+n)2

…（2分）
由f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，
解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故f(x)=

4x

x2+1

…（4分）
（2）由（1）知f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x）．故f（x）为奇函数．f（0）=0，x＞0时，f（x）＞0，f（x）=

4

x+ 1 x

≤2．当且仅当x=1时取“=”．
故f（x）的值域为[-2，2]．从而f（x₁）+

7

2

≥

3

2

．依题意有g（x）_最小值≤

3

2

函数g（x）=lnx+

a

x

的定义域为（0，+∞），g′（x）=

x-a

x2

①当a≤1时，g′（x）＞0函数g（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为g（1）=a≤1＜

3

2

合题意；
②当1＜a＜e时，函数g（x）在[1，a）上有g′（x）＜0，单调递减，在（a，e]上有g′（x）＞0，单调递增，所以函数g（x）最小值为f（a）=lna+1，由lna+1≤

3

2

，得0＜a≤

e

．从而知1＜a≤

e

符合题意．
③当a≥e时，显然函数g（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为g（e）=1+

a

e

≥2＞

3

2

，不合题意（11分）
综上所述，a的取值范围为a≤

e

（12分）

点评：本题考查导数的性质的应用，考查一个函数小于另一个函数时，小于它的最小值．要会利用函数的导数判断函数的单调性．