Question

如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=

2

2

，PC=

2

．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）（理科）求二面角A-PC-D的余弦值；
（文科）求三棱锥D-PAC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AB的中点E，连接PE，CE，证明PE⊥平面ABCD，（2）（理科）在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连接AF，过A作平面PCD的垂线，
垂足为H，连接FH．（文科）V_D-PAC=V_P-DAC，底面与高都很简单．

解答： 解：（1）证明：如图所示，取AB的中点E，连接PE，CE，
则PE是等腰三角形PAB的底边上的中线，则PE⊥AB．
∴PE=1，CE=

3

，PC=2．∴PE⊥CE．
又∵AB，CE?平面ABCD，且AB∩CE=E，
∴PE⊥平面ABCD，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）（理科）如图，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连接AF，过A作平面PCD的垂线，
垂足为H，连接FH．
∵AE⊥EC，AE⊥PE，
∴AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．
又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF，
又PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．
故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．
由AB⊥平面PEC知，EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．
又EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD，
∵AH⊥面PCD，∴AH∥EF．
∵AB∥面PCD，
所以A、E两点到平面PCD的距离相等，
AH=EF，
∴AEFH为矩形，且∠AFH=∠EAF，
在Rt△AEF中，AE=1，EF=

3

2

，AF=

7

2

，
∴cos∠EAF=

AE

AF

=

2 7

7

；
所以二面角A-PC-D的余弦值为

2 7

7

．
（文科）V_D-PAC=V_P-DAC=

1

3

•

1

2

•2•2sin60°•1=

3

3

．

点评：本题考查了学生的作图能力，及转化的思想，化简要细心，属于中档题．