Question

已知函数f（x）=x（x²-a）（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的极大值；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象在g（x）图象的上方（没有公共点），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导函数，利用f（x）在x=1处取得极值，求出a，然后求出函数的单调区间，即可求f（x）的极大值；
（2）利用在区间[1，2]上f（x）的图象在g（x）图象的上方（没有公共点），得到不等式，构造函数，通过函数的导数在区间上的单调性与最值，求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=x³-ax，f'（x）=3x²-a，由f'（1）=0，∴a=3…（2分）
从而f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∴在x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数
x∈（-1，1），f'（x）＜0，f（x）是减函数；
x∈（1，+∞）f'（x）＞0，f（x）是增函数…（4分）
∴f（x）极大值：f（-1）=2…（5分）
（2）由题意知f（x）＞g（x）在区间[1，2]上恒成立，即x（x²-a）＜lnx…（7分）
从而a＜x2-

lnx

x

…（8分）
记h(x)=x2-

lnx

x

，h′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3-1+lnx

x2

…（10分）
当x∈[1，2]时，2x³-1≥1，lnx≥0，
∴h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]单调递增，…（12分）
从而 h（x）_min=h（1）=1，
∴a＜1…（13分）

点评：本题考查函数的导数的应用，求解闭区间上的最值，极值单调性的判断，构造函数和转化思想的应用是本题解答的关键．