Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2c，且a²=c（c+a），F，A分别是它的左焦点和右顶点，B是短轴的一个端点，则∠ABF等于（　　）

• A、60°
• B、75°
• C、90°
• D、120°

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立，可得∠FBA等于 90°．

解答： 解：∵a²=c（c+a），∴2c²=（3-

5

）a²，
在三角形FAB中有b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=

a2+b2

∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=

3+ 5

2

a²，
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
∴∠FBA等于 90°．
故选：C．

点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．