Question

已知奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）=

1

xex

．
（Ⅰ）求f（x）在x∈（0，+∞）上的单调区间与极值点；
（Ⅱ）若方程e^x=-x³+2x²+ax+3在（0，+∞）上有两个不相同实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,根据实际问题选择函数类型

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先确定f（x）在x∈（0，+∞）上的解析式，再求导，可得单调区间与极值点；
（Ⅱ）方程e^x=-x³+2x²+ax+3在（0，+∞）上有两个不相同实根，等价于函数y=

ex

x

与函数y=-x²+2x+a+3的图象有两个不同交点，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）x＞0时，-x＜0，则f（-x）=

1

-xe-x

，
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

ex

x

，
∴f′（x）=

x-1

x2

•ex，
∴f（x）在x∈（0，+∞）上的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1），极小值点是1；
（Ⅱ）方程e^x=-x³+2x²+ax+3在（0，+∞）上有两个不相同实根，等价于函数y=

ex

x

与函数y=-x²+2x+a+3的图象有两个不同交点，
函数y=-x²+2x+a+3的最大值为a+4，由（Ⅰ）知，函数的极小值为e，
∴a+4＞e，
∴a＞e-4．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．