Question

已知函数f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）
（1）求y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）判断函数y=f^-1（x）的奇偶性；
（3）解不等式f^-1（x）＞1．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,反函数

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的解析式求出自变量，再把自变量和函数交换位置，即得反函数的解析式，并求出反函数的定义域；
（2）根据（1）求出的定义域和解析式，得定义域关于原点对称，再由对数的运算性质化简f^-1（-x），再由奇函数的定义下结论；
（3）将不等式化为：loga

1+x

1-x

＞log

a a

，再根据对数函数的单调性对a分类，分别列出不等式组（注意定义域）求出x的范围，即不等式的解集．

解答： 解：（1）由y=

ax-1

ax+1

得，ax=

1+y

1-y

，则x=loga

1+y

1-y

，
由

1+y

1-y

＞0得，（y+1）（y-1）＜0，解得-1＜y＜1，
∴y=f（x）的反函数：f-1(x)=loga

1+x

1-x

，x∈（-1，1）（4分）
（2）由（1）得f-1(x)=loga

1+x

1-x

的定义域是（-1，1），
且f-1(-x)=loga

1-x

1+x

=loga(

1+x

1-x

)-1=-f^-1（x），
则函数f-1(x)=loga

1+x

1-x

是奇函数       （8分）
（3）∵f^-1（x）＞1，∴loga

1+x

1-x

＞log

a a

，
①当a＞1时，

1+x 1-x ＞a -1＜x＜1

，解得x∈(

a-1

a+1

，1)，
②当0＜a＜1时，

1+x 1-x ＜a -1＜x＜1

，解得x∈(-1，

a-1

a+1

)，
综上得，不等式的解集是：当a＞1时，(

a-1

a+1

，1)；当0＜a＜1时，(-1，

a-1

a+1

)（14分）

点评：本题考查对数函数的单调性、定义域，求反函数，函数的奇偶性的判断方法，以及对数不等式，求出反函数，是解题的难点．