Question

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=（a+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）对f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）赋值，求f（x）；（2）借助二次函数的对称轴易解．

解答： 解：（1）由f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），
令x=1，y=0，得，f（1）-f（0）=1（1+1）=2，
∴f（0）=-2，∴f（x+0）-f（0）=x（x+1），
∴f（x）═x²+x-2．
（2）g（x）=x²+（1-a）x-2（a+1），
∵g（x）在区间（-1，2）上是单调函数；
∴

a-1

2

≥2或

a-1

2

≤-1，
即a≥5或a≤-1；
故实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[5，+∞）．

点评：本题考查了函数的综合应用，属于中档题．